三次方程式的根式解


1545 年,义大利的一位医生兼数学家卡丹诺(Gerolamo Cardano, 1501-1576)出版了《大技术Ars Magna or The Rules of Algebra》,首次向世人展示了如何求解三次与四次方程式的完整过程。然而三次方程式的根式解,如同许多数学上的伟大成就一般,无法只归功于卡丹诺一人,甚至在其公开的过程中,为了优先权之争,还引起公开挑战、言语攻讦、阴谋策划等等,算是数学史发展上相当具有社会史色彩的一页。

在 1510 年到 1515 年之间的某个时刻,波隆纳大学的数学家费罗(Ferro)首先提出了缺二次项的 \(x^3+cx=d\) 的三次方程式代数解,然而他并没有公开它的解法反而严加保密,直到 1526 年他去世时,才将写有解法的论文传给它的女婿纳夫与一个学生安东尼奥‧马立亚‧费尔。

在那个时代,数学上的学术职位是依据地位和名望来安排的,而地位和名望则来自于公开挑战中的胜利,因此数学家所掌握到的数学知识就像武功密笈一般,被当成自己的致胜绝招而不轻易示人。费尔当时想凭藉着解三次方程式的才能成为威尼斯的一名数学老师。然而当时却盛传另一位数学教师塔尔塔利亚(Tartaglia, 意为口吃之人,原名为尼柯洛‧冯塔纳)也会解三次方程式,因此向塔尔塔利亚提出挑战,塔尔塔利亚大获全胜,因此战而声名大噪。

卡丹诺虽然身为医生,却对许多知识领域有浓厚的兴趣,尤其在数学方面,更有其过人的天赋。当听说塔尔塔利亚战胜费尔之后,卡丹诺曾请求塔尔塔利亚允许他在即将出版的书中披露塔尔塔利亚的三次方程式解法,他承诺,这种解法将完全归功于塔尔塔利亚。

塔尔塔利亚最初不同意他的请求,但是卡丹诺不屈不挠地恳求,威胁利诱,最后利用他的赞助者瓦斯托侯爵的名义说动了塔尔塔利亚跟他会面,塔尔塔利亚最后终于给出他的「解法规则」,还是以暧昧不明的诗句形式表示,同时也没有给卡丹诺任何对解法的实证。之后卡丹诺在助理费拉里的帮助下,花了六年的时间,揣摩出那些诗句的意思,又扩展他们的含义,将十三种类型的三次方程式的解完全呈现,最后几章同时也包含了在费拉里帮助下所得到的四次方程式解。

在卡丹诺的书出版后第二年,愤怒的塔尔塔利亚出版了《新问题与发明》,前半部包含他那些年理发现的问题与解法,后半部却完全用来批评卡丹诺和他的《大技术》,不仅批评卡丹诺的数学能力,并且指控他剽窃。他在书里面说卡丹诺给过他承诺:「我按着神圣的福音书起誓,以一个绅士的名义保证,不仅在你告诉我你的发现之后,永不出版它;而且我以一个真正的基督徒的名义承诺和保证把它们当成密码一样藏在心里,使得在我死后,没有人能够理解它们。」然而这段话遭到卡丹诺助理费拉里的严正否认与驳斥。

1547 年二月,费拉里出面回应塔尔塔利亚的攻击与挑衅,这个公开论战的细节不可知,只知结果费拉里宣布获胜,塔尔塔利亚失去的教师的职位。然而心怀愤恨的塔尔塔利亚,最终还是使尽一切手段与阴谋,让卡丹诺遭到驱逐、破产、入狱,最后隐姓埋名过完一生。这段历史无论谁是谁非,每个人心中自有论断,下面仅就卡丹诺的方法解释三次方程式的根式解。

三次方程式的根式解卡丹诺在《大技术Ars Magna or The Rules of Algebra》中的第十一章到第二十三章,详细列出共十三种类型的三次方程式解法,并以几何的形式加以验证。儘管卡丹诺以数值係数为例求解,但是解法过程却具有一般性,因此如同卡丹诺所说的,可建立解同类型方程式的一般「规则」。

我们先以缺了二次方项的不完全三次方程式 \(x^3+cx=d\) 为例来说明,先分别求两个数 \(u,v\),卡丹诺以几何证明告诉我们,

当 \(x = \sqrt[3]{u} – \sqrt[3]{v}\),因为

\(\begin{array}{ll}{x^3} = {(\sqrt[3]{u} – \sqrt[3]{v})^3} &= (u – v) – 3 \cdot \sqrt[3]{u} \cdot \sqrt[3]{v}(\sqrt[3]{u} – \sqrt[3]{v}) \\&= (u – v) – 3 \cdot \sqrt[3]{u} \cdot \sqrt[3]{v} \cdot x\end{array}\)

即 \({x^3} + 3 \cdot \sqrt[3]{u} \cdot \sqrt[3]{v} \cdot x = u – v\),比较係数得 \(u-v=d\),\(\displaystyle{uv}= {(\frac{c}{3})^3}\)

也就是说先求两个数 \(u,v\),使得 \(u-v=d\),\(\displaystyle{uv}= {(\frac{c}{3})^3}\) 。现在解联立方程式

\(\left\{ \begin{array}{l} u – v = d\\ \displaystyle uv = {(\frac{c}{3})^3} \end{array} \right.\)

将 \(\displaystyle{v} = {(\frac{c}{3})^3} \cdot \frac{1}{u}\) 代入,得到 \(\displaystyle{u} – {(\frac{c}{3})^3} \cdot \frac{1}{u} = d\),亦即得到 \(u\) 的二次方程式

\(\displaystyle {u^2} – {(\frac{c}{3})^3} = du\)

解此二次方程式,得 \(\displaystyle{u}= \sqrt {{{(\frac{d}{2})}^2}+{{(\frac{c}{3})}^3}}+\frac{d}{2}\),

因此 \(\displaystyle{v} = \sqrt {{{(\frac{d}{2})}^2} + {{(\frac{c}{3})}^3}}- \frac{d}{2}\),代回 \(x = \sqrt[3]{u} – \sqrt[3]{v}\)

因此得  \(\displaystyle{x} = \sqrt[3]{{\sqrt {{{(\frac{d}{2})}^2} + {{(\frac{c}{3})}^3}} + \frac{d}{2}}} – \sqrt[3]{{\sqrt {{{(\frac{d}{2})}^2} + {{(\frac{c}{3})}^3}}- \frac{d}{2}}}\)。

以 \(x^3+6x=20\) 为例, \(\displaystyle\frac{d}{2} = 10\),\(\displaystyle\frac{c}{3} = 2\),

因此 \(\displaystyle{x} = \sqrt[3]{{\sqrt {108}+ 10}} – \sqrt[3]{{\sqrt {108}- 10}}\)。

在当时,虽然代数问题不再源自几何背景,然而数学家们仍然习惯将未知数的一次方、平方和立方当成是几何的线、面、体积,一个代数方程式也就表示了这些几何量的加减运算。因此,对卡丹诺而言,在一个三次方程式中,每一项代表的都是体积,因此他在几何的验证过程中,取的是两个立方体体积\((u,v)\)的差等于 \(d\),而这两个立方体边长相乘等于 \(\displaystyle\frac{c}{3}\),如此整个三次式才能考虑成都是体积的运算。

当时的数学家们,在齐次律的束缚之下,反而藉此之便,完成了三次方程式根式解的伟大成就。在完成了缺二次项的三次方程式解之后,卡丹诺告诉我们,针对任意的三次方程式,则可以利用变数变换,让它缺少二次项。

如何作变数变换呢?先以二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) 为例,我们知道

\(\displaystyle a{x^2}+bx+c= a{(x+\frac{b}{{2a}})^2}+\frac{{4ac – {b^2}}}{{4a}}\)

因此若令 \(\displaystyle{y} = x + \frac{b}{{2a}}\),原先的方程式将可转换成 \(\displaystyle{a{y^2}} + \frac{{4ac – {b^2}}}{{4a}} = 0\),缺少了一次项后,\(y\) 的解即可轻易的求出,因此在二次方程式中,只要将 \(\displaystyle{x}= y – \frac{b}{{2a}}\) 代入,即可得到一个缺少一次项的二次方程式。

在任一个三次方程式 \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\) 中,则可以考虑 \(\displaystyle{x} = y – \frac{b}{{3a}}\) 代入,得

\(\displaystyle a{(y – \frac{b}{{3a}})^3} + b{(y – \frac{b}{{3a}})^2} + c(y – \frac{b}{{3a}}) + d = 0\),将式子展开,得

\(\displaystyle(a{y^3} – b{y^2} + \frac{{{b^2}}}{{3a}}y – \frac{{{b^3}}}{{27{a^2}}}) + (b{y^2} – \frac{{2{b^2}}}{{3a}}y + \frac{{{b^3}}}{{9{a^2}}}) + c(y – \frac{b}{{3a}}) + d = 0\)

如此即可消去二次方项,得到一个缺项的不完全三次方程式之后,则可先以之前得到的公式得到 \(y\) 之解,然后代回即可得 \(x\) 了。

卡丹诺在本书中显露的三次与四次方程式的解,除了沿袭希腊一贯以几何思考代数问题的形式之外,更向我们显露了一种解决数学问题的「策略」,卡丹诺和他的徒弟费拉里採取了一种将方程式转换的化约式策略,即是将三次方程式求解问题转换成二次方程式的求解。这种将高次降低成低一次的方法,充分运用的话,即可显现数学以简驭繁的精妙。

参考文献


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