三次函数图形的绘製

当我们要描绘一个多项式函数图形时,有几个需要事先注意与处理的步骤:

接下来我们将就三次多项式函数的一阶与二阶导函数,一步步地讨论与完成绘製三次函数的图形。

三次函数图形的特徵

设三次函数 \(f(x)=ax^3+bx^2+cd+d,~~a\ne 0\),

其 \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\)、\(f”(x)=6ax+2b\)

\((1)\)  \(f'(x)=0\) 有二相异实根

设实根为 \(\alpha\) 与 \(\beta\) (\(\alpha<\beta\)),

即可因式分解为 \(f'(x)=3a(x-\alpha)(x-\beta)\),\(f”(x)=3a(2x-\alpha-\beta)\)。

配合二次导函数与反曲点,当 \(a>0\) 时,可得与的函数值之正负变化情形,以及 \(y=f(x)\) 图形的简图如下表:

 \(a>0\):

三次函数图形的绘製

由上表可知,当 \(a>0\) 时,函数图形为「右上升」;而当 \(a<0\) 时,所有递增减的情形与凹口的情形皆与 \(a>0\) 时相反,且图形为「右下降」。其图形如下:

三次函数图形的绘製

由图形可知,此时三次函数有极值,极值点为 \((\alpha ,f(\alpha ))\) 、\((\beta ,f(\beta))\),利用这两个点与 \(x\) 轴的相对位置,就可讨论 \(f'(x)=0\) 的实根与虚根个数。

当 \(f'(\alpha)\cdot f'(\beta)<0\) 时,方程式有三相异实根;当 \(f'(\alpha)\cdot f'(\beta)=0\) 时,方程式有三实根(二重根与另一实根);当 \(f'(\alpha)\cdot f'(\beta)>0\) 时,方程式有二虚根与一实根。

\((2)\)  \(f'(x)=0\) 只有一个实根

设实根为 \(\alpha\),亦即 \(f'(x)\) 可配方为 \(f'(x)=3a(x-\alpha)^2\),因此当 \(a>0\) 时,\(f'(x)\ge 0\),\(f(x)\) 为递增函数;当 \(a<0\) 时,\(f'(x)\le 0\),\(f(x)\) 为递减函数。

又 \(f”(x)=3a(x-\alpha)\),其反曲点为 \((\alpha,f(\alpha))\),但 \(f'(\alpha)=0\),亦即过反曲点 \((\alpha,f(\alpha))\) 可作一条水平切线。其图形如下:

三次函数图形的绘製

在此种情形下,再考虑 \(x\) 轴的位置,即可讨论 \(f'(x)=0\) 的实根与虚根个数。

若反曲点 \((\alpha,f(\alpha))\) 在 \(x\) 轴上,即 \(f(\alpha)=0\),那幺方程式有三相等实根(为三重根);当 \(f(\alpha)\ne 0\) 时,方程式有二虚根与一实根。

\((3)\)  \(f'(x)=0\) 没有实根

即 \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\) 之判别式 \(D<0\),因此当 \(a>0\) 时,\(f'(x)\) 恆正,亦即 \(f'(x)\) 为严格递增函数;反之,当 \(a<0\) 时,\(f'(x)\) 恆负,亦即 \(f(x)\) 为严格递减函数。

又反曲点为 \(\displaystyle( – \frac{b}{{3a}},f( – \frac{b}{{3a}}))\),且因为 \(f'(\displaystyle -\frac{b}{{3a}}) \ne 0\),因此在函数图形在反曲点没有水平切线。其图形如下:

三次函数图形的绘製

在这种情形下,无论 \(x\) 轴的位置为何,\(f(x)=0\) 的根都是二虚根一实根。


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