三次方根与三角函数


摘要:解三次方程式用卡当公式,卡当公式需开複数的立方根,开複数立方根可用棣美弗定理,棣美弗定理又和三角函数脱不了关係,换言之即使低次如三次方程式也和三角函数密切相关,本篇文章就上述几者的关係做个讨论。

棣美弗定理与複数方根

棣美弗最有名的定理,就是高中课本里的「棣美弗定理」:

$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$$

※ 此公式棣美弗证明了 $$n$$ 为自然数时成立,1749年时尤拉则证明了 $$n$$ 为实数也成立。

在高中学习棣美弗定理最主要能帮助我们找複数的方根。

以三次方根为例,欲解 $$z^{3} =x+yi$$,其中 $$x,y\in\mathbb{R}$$,首先将 $$x+yi$$ 表示成複数的极式,即

$$x+yi=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$   其中 $$r=\sqrt{x^2+y^2},~\theta=\tan^{-1}\frac{y}{x}$$

将之代回,比较两边极式的幅角与绝对值,即可解得

$$\displaystyle z=\sqrt[3]{r}\left(\cos(\frac{\theta}{3}+120^\circ k)+i\sin(\frac{\theta}{3}+120^\circ k)\right),~k=0,1,2$$

最后只需计算 $$\sqrt[3]{r}$$ 及 $$\theta/3$$,再由三角函数值表查出 $$\cos\frac{\theta}{3}$$, $$\sin \frac{\theta}{3}$$ 的值,即可得到此三方根。

由上述过程可以发现解方根的过程中,查表占了很重要的地位,除了最后的查表,一开始的幅角 $$\theta$$,也必须查正切值表得知。解根过程中的查表可由以下简略流程表示:

$$\tan\theta=\frac{y}{x}\longrightarrow$$ 反查表得 $$\theta\longrightarrow \frac{\theta}{3}\longrightarrow$$ 查表得 $$\cos\frac{\theta}{3}$$、$$\sin\frac{\theta}{3}$$

过程中有查表也有反查表,感觉上绕了点路,难道不能想办法略过中间的查表吗?即若已知 $$\tan\theta$$ 的值,如何不查表直接推得 $$\theta/3$$ 的三角函数值?

棣美弗针对此问题的回答是:「没有正弦值表的帮忙,这件事(解方程式)根本不可能完成。」

利用恆等式躲避查表?

且不管棣美弗的意见为何,让我们试试看,比方说若已知 $$\tan\theta$$ 的值,若想利用三角恆等式直接推得 $$\tan\frac{\theta}{3}$$,首先想到三倍角公式

$$\displaystyle\tan 3\theta=\frac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta}$$

,将之改写成

$$\displaystyle\tan \theta=\frac{3\tan\frac{\theta}{3}-\tan^3\frac{\theta}{3}}{1-3\tan^2\frac{\theta}{3}}$$

不难看出则其为 $$\tan\frac{\theta}{3}$$ 的「三次」方程式;故若想得知 $$\tan\frac{\theta}{3}$$,必须解一元实係数三次方程式,与求方根相比,其困难程度似乎有增无减,唯现在我们只关心其「实数」解。

解三次方程式有个利器——卡当公式,任何三次方程式 $$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$$ 都可经由变数代换消去二次项,而卡当公式即是针对形如 $$x^{3}+px+q=0$$ 的方程式,要利用卡当公式计算方程式的解,必须先计算以下两项

$$\displaystyle\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$$、$$\displaystyle\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$$

只要 $$27q^{2}+4p^{3}<0$$,则立方根号里的虚部便不为零,问题又跳回求複数的三次方根!

将上述流程简化如下

三次方根与三角函数

不藉由 $$\tan\theta$$,想改用正弦或余弦又如何呢?因为正弦、余弦的三倍角公式为

$$\displaystyle \sin\theta=3\sin\frac{\theta}{3}-4\sin^3\frac{\theta}{3},~\cos\theta=4\cos^3\frac{\theta}{3}-3\cos\frac{\theta}{3}$$

过程中会碰到实係数三次方程式,故结果也是一样的。

实例说明

以 $$81+30\sqrt{3}i$$ 的三次方根为例,要找 $$z=x+yi=81+30\sqrt{3}i$$ 的三次方根,先求出此複数的绝对值及幅角的三角函数值:

$$\displaystyle r=21\sqrt{21},~~\tan\theta=\frac{10\sqrt{3}}{27}$$

利用 $$\tan\theta =\frac{10\sqrt{3}}{27} $$,欲求 $$\frac{\theta}{3}$$ 的三角函数值 $$\cdots(1)$$

而 $$\displaystyle\cos\theta=\frac{x}{r}=\frac{81}{21\sqrt{21}}=\frac{9\sqrt{21}}{49}$$

利用三倍角公式 $$\displaystyle\cos\theta=4\cos^3\frac{\theta}{3}-3\cos\frac{\theta}{3}$$

将问题转换成解三次方程式 $$\frac{9\sqrt{21}}{49}=4x^{3}-3x$$,

移项整理得 $$196x^{3}-147x-9\sqrt{21}=0$$

利用卡当公式,将 $$p=-\frac{3}{4}$$,$$q=\frac{9\sqrt{21}}{196}$$ 代入,化简后可得

$$\displaystyle\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$$、$$\displaystyle\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$$
$$\displaystyle=\frac{1}{14}\sqrt[3]{-63\sqrt{21}\pm 70\sqrt{7}i}$$

于是我们需要找 $$-63\sqrt{21}\pm 70\sqrt{7}i $$的三次方根(又是複数的三次方根!),先将之化为极式,其绝对值

$$r=\sqrt{(-63\sqrt{21})^2+(70\sqrt{7})^2}=343$$

且幅角的正切值 $$\displaystyle \tan\theta=\frac{\pm 70\sqrt{7}}{-63\sqrt{21}}=\frac{\mp 10\sqrt{3}}{27}$$

已知 $$\displaystyle \tan\theta=\frac{\mp 10\sqrt{3}}{27}$$,想找 $$\displaystyle\frac{\theta}{3}$$ 的三角函数值 $$\cdots(2)$$

注意到 $$(1)$$、$$(2)$$ 几乎一模一样,我们又回到了原点!

当年为了说服他人三角函数值表的必要性,棣美弗提出此巧例,他说:「任何想绕过三角函数值表求出方根的办法,最后都会回到原来的问题。」换作其他例子,$$(1)$$、$$(2)$$ 式不必然雷同,不过可以肯定的是,我们会不断需要解複数的方根。

然而棣美弗举错例子了!因为透过巧妙的变数代换 $$196x^{3}-147x-9\sqrt{21}=0$$ 可以避免使用卡当公式,也就是能不再落入複数方根的轮迴,换句话说,$$81+30\sqrt{3}i$$ 的三次方根可以不透过三角函数值表解出来[注]!

三次方根与三角函数


参考资料

[注] 读者不仿尝试巧妙的变数代换,欲知详解,请参考毛起来说三角p.110,p.111。


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